Notaciones infija, prefija y postfija

Notaciones:

Forma especial en la que se pueden expresar una expresión matemática en tres formas: Infija, Prefija y Posfija.

Prefija:

Nos indica que el operador va antes de los operandos sus características principales son:
Los operandos conservan el mismo orden que la notación infija
equivalente.
-No requiere de paréntesis para indicar el orden de precedencia de
operadores ya que el es una operación.
-Se evalúa de izquierda a derecha hasta que encontrémosle primer
operador seguido inmediatamente de un par de operandos.
-Se evalúa la expresión binaria y el resultado se cambia como un nuevo
operando.
Se repite este hasta que nos quede un solo resultado.

Notación prefija: El orden es operador, primer operando, segundo.

Infija

Es la forma mas común que utilizamos para escribir expresiones
matemáticas, estas notaciones se refiere a que el operador esta entre
los operandos. La notación infija puede estar completamente
parentizada o puede basarse en un esquema de precedencia de
operadores así como el uso de paréntesis para invalidar los arreglos al
expresar el orden de evaluación de una expresión:
3*4=12
3*4+2=14
3*(4+2)=18
[size=12]

Notación infija: La notación habitual. El orden es primer operando,operador, segundo operando.

Posfija

Como su nombre lo indica se refiere a que el operador ocupa la posición
después de los operandos sus características principales son:
-El orden de los operandos se conserva igual que la expresión infija
equivalente no utiliza paréntesis ya que no es una operación ambigua.
La operación posfija no es exactamente lo inverso a la operación prefija
equivalente:
(A+B)*C AB+C*

Notación postfija: El orden es primer operando, segundo operando, operador.

EJEMPLO:

Si deseamos representar las expresiones (2+(3*4)) = x y ((2+3)*4)= x en las tres notaciones mencionadas, el resultado sería:

	(2+(3*4)) = x	((2+3)*4) = x
Notación prefija	= + 2 * 3 4 x	= * + 2 3 4 x
Notación infija	2+3*4 = x	(2+3)*4 = x
Notación postfija	2 3 4 * + x =	2 3 + 4 * x =

Expresiones en notaciones infija, prefija y sufija

Cuando usted escribe una expresión aritmética como B * C, la forma de la expresión le proporciona información para que pueda interpretarla correctamente. En este caso sabemos que la variable B está siendo multiplicada por la variable C, ya que el operador de multiplicación * aparece entre ellos en la expresión. Este tipo de notación se conoce como infija ya que el operador está entre los dos operandos sobre los que está actuando.

Considere otro ejemplo de notación infija, A + B * C. Los operadores + y * siguen apareciendo entre los operandos, pero hay un problema. ¿Sobre qué operandos actúan? ¿Opera el + sobre A y B o el * opera sobre B y C? La expresión parece ambigua.

De hecho, usted ha estado leyendo y escribiendo estos tipos de expresiones durante mucho tiempo y no le causan ningún problema. La razón de esto es que usted sabe algo sobre los operadores + y *. Cada operador tiene un nivel de precedencia. Los operadores de mayor precedencia se utilizan antes que los operadores de menor precedencia. Lo único que puede cambiar ese orden es la presencia de paréntesis. El orden de precedencia para los operadores aritméticos ubica la multiplicación y la división por encima de la suma y la resta. Si aparecen dos operadores de igual precedencia, se utiliza un ordenamiento o asociatividad de izquierda a derecha.

Interpretemos la expresión problemática A + B * C usando la precedencia de los operadores. B y C se multiplican primero y A se añade a ese resultado. (A + B) * C forzaría la suma de A y B antes de la multiplicación. En la expresión A + B + C, por precedencia (vía asociatividad), el + que está más a la izquierda operaría primero.

Aunque todo esto puede ser obvio para usted, recuerde que las computadoras necesitan saber exactamente qué operadores deben ejecutarse y en qué orden. Una forma de escribir una expresión que garantice que no habrá confusión con respecto al orden de las operaciones es crear lo que se denomina expresión completamente agrupada. Este tipo de expresión utiliza una pareja de paréntesis para cada operador. Los paréntesis dictan el orden de las operaciones; no hay ambigüedad. Tampoco es necesario recordar las reglas de precedencia.

La expresión A + B * C + D se puede reescribir como ((A + (B * C)) + D) para mostrar que la multiplicación ocurre primero, seguida por la adición que está más a la izquierda. A + B + C + D se puede escribir como ((A + B) + C) + D) ya que las operaciones de adición se asocian de izquierda a derecha.

Hay otros dos formatos de expresión muy importantes que, al principio, pueden no parecer obvios. Considere la expresión infija A + B. ¿Qué pasaría si moviéramos el operador antes de los dos operandos? La expresión resultante sería + A B. Del mismo modo, podríamos mover el operador al final. Obtendríamos A B +. Estas expresiones se ven un poco extrañas.

Estos cambios en la posición del operador con respecto a los operandos crean dos nuevos formatos de expresión, la notación prefija y la notación sufija (o postfija). La notación prefija requiere que todos los operadores precedan a los dos operandos sobre los que actúan. La notación sufija, por otro lado, requiere que sus operadores aparezcan después de los operandos correspondientes. Algunos ejemplos más deberían ayudar a hacer esto un poco más claro (ver la Tabla 2).

A + B * C se escribiría como + A * B C en la notación prefija. El operador de multiplicación aparece inmediatamente antes de los operandos B y C, denotando que el * tiene precedencia sobre el +. El operador de adición aparece entonces antes de la A y del resultado de la multiplicación.

En notación sufija, la expresión sería A B C * +. Una vez más, el orden de las operaciones se conserva ya que el * aparece inmediatamente después de la B y la C, denotando que el * tiene precedencia, con el + apareciendo después. Aunque los operadores se movieron y ahora aparecen antes o después de sus respectivos operandos, el orden de cada operando se mantuvo exactamente igual en relación con los demás.

Tabla 2: Ejemplos en notación infija, prefija y sufija

Expresión infija	Expresión prefija	Expresión sufija
A + B	+ A B	A B +
A + B * C	+ A * B C	A B C * +

Ahora considere la expresión infija (A + B) * C. Recuerde que en este caso, la notación infija requiere los paréntesis para forzar que se lleve a cabo la adición antes de la multiplicación. Sin embargo, cuando A + B fue escrito en notación prefija, el operador de adición fue movido simplemente antes de los operandos, + A B. El resultado de esta operación se convierte en el primer operando para la multiplicación. El operador de multiplicación se mueve delante de toda la expresión, dándonos * + A B C. Igualmente, en notación sufija A B + obliga a que la adición ocurra primero. La multiplicación se puede hacer sobre ese resultado y el operando restante C. La expresión sufija correcta es entonces A B + C *.

Considere nuevamente estas tres expresiones (ver la Tabla 3). Ha ocurrido algo muy importante. ¿A dónde se fueron los paréntesis? ¿Por qué no los necesitamos en las notaciones prefija y sufija? La respuesta es que los operadores ya no son ambiguos con respecto a los operandos sobre los que actúan. Solamente la notación infija requiere los símbolos adicionales. El orden de las operaciones dentro de las expresiones prefijas y sufijas está completamente determinado por la posición del operador y nada más. De muchas maneras, esto hace que la notación infija sea la notación menos deseable de usar.

Tabla 3: Una expresión con paréntesis

Expresión infija	Expresión prefija	Expresión sufija
(A + B) * C	* + A B C	A B + C *

La Tabla 4 muestra algunos ejemplos adicionales de expresiones infijas y las expresiones equivalentes en notaciones prefija y sufija. Asegúrese de entender cómo son equivalentes en términos del orden de las operaciones que se están realizando.

Tabla 4: Ejemplos adicionales en notaciones infija, prefija y sufija

Expresión infija	Expresión prefija	Expresión sufija
A + B * C + D	+ + A * B C D	A B C * + D +
(A + B) * (C + D)	* + A B + C D	A B + C D + *
A * B + C * D	+ * A B * C D	A B * C D * +
A + B + C + D	+ + + A B C D	A B + C + D +